有限数学示例

$\log (\sqrt[7]{x}) - \log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$

解题步骤 1

将 $\log (\sqrt[7]{x})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[7]{x} \leq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, raise both sides of the inequality to the power of $7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{7}}$ 。

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2.2.1.2

化简。

$x \leq 0^{7}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 3

将 $\log_{7} ({(x)}^{5})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x)}^{5} \leq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \leq \sqrt[5]{0}$

解题步骤 4.2

化简方程。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \leq \sqrt[5]{0}$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x \leq \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \leq 0$

解题步骤 5

将 $\log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\log_{7} ({(x)}^{5}) \leq 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$\log_{7} (x^{5}) \leq 0$

解题步骤 6.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = 1$

解题步骤 6.3

求 $\log_{7} ({(x)}^{5})$ 的定义域。

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解题步骤 6.3.1

将 $\log_{7} ({(x)}^{5})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

${(x)}^{5} > 0$

解题步骤 6.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} > \sqrt[5]{0}$

解题步骤 6.3.2.2

化简方程。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

从根式下提出各项。

$x > \sqrt[5]{0}$

解题步骤 6.3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x > \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 6.3.2.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x > 0$

解题步骤 6.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(0, \infty)$

解题步骤 6.4

使用每一个根建立验证区间。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 6.5

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 6.5.1

检验区间 $x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 6.5.1.1

选择区间 $x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 6.5.1.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\log_{7} ({(- 2)}^{5}) \leq 0$

解题步骤 6.5.1.3

判断不等式是否成立。

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解题步骤 6.5.1.3.1

因为方程无定义，所以方程无解。

$无定义$

解题步骤 6.5.1.3.2

左边无解，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 6.5.2

检验区间 $0 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 6.5.2.1

选择区间 $0 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0.5$

解题步骤 6.5.2.2

使用原不等式中的 $0.5$ 替换 $x$ 。

$\log_{7} ({(0.5)}^{5}) \leq 0$

解题步骤 6.5.2.3

左边的 $- 1.78103593$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 6.5.3

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 6.5.3.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 6.5.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\log_{7} ({(4)}^{5}) \leq 0$

解题步骤 6.5.3.3

左边的 $3.56207187$ 大于右边的 $0$ ，即表示给定命题是假命题。

False

解题步骤 6.5.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 0$ 为假

$0 < x < 1$ 为真

$x > 1$ 为假

$x < 0$ 为假

$0 < x < 1$ 为真

$x > 1$ 为假

解题步骤 6.6

解由使等式成立的所有区间组成。

$0 < x \leq 1$

解题步骤 7

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

解题步骤 8

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